Βάζουμε στον κάδο του μίξερ το αλεύρι, τη ζάχαρη, την μαγιά, το μαχλέπι, τη μαστίχα και το αλάτι.
Προσθέτουμε τα δύο αυγά, το γάλα και ζυμώνουμε με το γάντζο σε χαμηλή ταχύτητα για να ζυμωθούν καλά.
Προσθέτουμε ένα-ένα κομμάτι το βούτυρο για να το απορροφήσει η ζύμη και συνεχίζουμε το ζύμωμα μέχρι να αποκτήσουμε ένα μαλακό και ελαστικό ζυμάρι που ξεκολλάει από τα τοιχώματα του κάδου.
Βάζουμε τη ζύμη σε μια λεκάνη, τη σκεπάζουμε με πετσέτα και την αφήνουμε σε ζεστό περιβάλλον για 2 ώρες, μέχρι να διπλασιαστεί σε όγκο.
Χωρίζουμε τη ζύμη σε τρία ίσα μέρη και τα πλάθουμε σε μπαστούνια. Ενώνουμε τα μπαστούνια μεταξύ τους στο πάνω μέρος και τα πλέκουμε σε πλεξίδα.
Βάζουμε το τσουρέκι σε αντικολλητικό ταψί ή λαμαρίνα και το αφήνουμε σε ζεστό περιβάλλον για μία ώρα για να φουσκώσει.
Ανακατεύουμε με ένα πινέλο το αυγό της επάλειψης με λίγο νερό και αλείφουμε το τσουρέκι.
Γαρνίρουμε με αμύγδαλο φιλέ και ψήνουμε σε προθερμασμένο φούρνο στους 170°C για περίπου 30-40 λεπτά.